Vorgeplänkel

Wie versprochen, hier die Formalisierung und noch ein bisschen Diskussionsvorlage. (Insbesondere Thimorn ist eingeladen zu ergänzen und zu korrigieren. )

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den Begriff Wahrscheinlichkeit zu definieren. Ich möchte mich nicht so richtig einer davon anschließen (und wenn, dann eher dem frequentistischen Begriff), sondern eher beide Erklärungen gleichwertig nebeneinander stehen lassen. Die beiden Begriffe hatten wir beim letzten Mal in der Diskussion schon. Aus mathematischer Sicht ist das schöne, dass man mit beiden Erklärungen auf dieselben Rechenregeln kommt, so dass wir uns gar nicht entscheiden müssen, sondern die gleichen Rechenregeln auf zwei (sehr ähnliche) Phänomene anwenden können, die man beide intuitiv als „Wahrscheinlichkeit“ auffassen kann.

Beiden Definitionen gemein ist, dass es sich bei Wahrscheinlichkeit um eine Maßzahl handelt. Und zwar misst man die Sicherheit, mit der ein bestimmtes Ereignis eintritt.

Ereignisse

Zunächst einmal: Was ist ein Ereignis? Dabei handelt es sich um ein beobachtbares Geschehen. Also ein Geschehen, von dem wir auf irgendeine Art und Weise entscheiden können, ob es eingetreten ist oder nicht. Und dabei darf es kein „es ist so halb eingetreten“ geben. Wir müssen – sofern das Ereignis eingetreten ist – klar entscheiden können: „Ja, es ist eingetreten.“ Und wir müssen das Ereignis von anderen (möglicherweise sehr ähnlichen) Ereignissen klar abgrenzen können. Also, wenn wir irgendwas beobachten, müssen wir auch sagen können: „Nein, das war es nicht.“

Betrachten wir ein Beispiel. Ich als SL sage: „Mach 'ne Stärkeprobe, ob du den Stein aufheben kannst.“ Die Regeln sagen aus: Eine Stärkeprobe gelingt dann, wenn der W20 höchstens den Wert zeigt, der auf dem Charakterbogen vermerkt ist. Ich gehe also davon aus, dass der Spieler einen W20 nimmt, würfelt und den Wert mit dem Stärkewert seiner Spielfigur vergleicht. Wir können damit entscheiden, ob das Ereignis „Stärkeprobe gelungen“ eingetreten ist oder nicht.

Überlegen wir jetzt mal, was in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit für die gelungene Probe bedeutet. Da sie lediglich misst, wie sicher ein Ereignis eintritt, machen wir also nur eine Aussage darüber, wie sicher die Probe gelungen ist. Wir können gar keine Aussage darüber machen, was der W20 genau zeigt, wie gut die Probe gelungen ist oder wie es sich anfühlt, wenn eine Ziege unter den Fußsohlen leckt.

„Das ist doch alles albern, warum reitest du so darauf rum?“ wird nun so mancher fragen. Ich möchte ein Gefühl dafür geben, was überhaupt passiert, bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Was letztendlich für „primitive Dinge“ man betrachtet. Und wie schnell die Grenzen dessen, was man betrachtet, erreicht sind. Und – was auch wichtig ist – wovon man überhaupt Wahrscheinlichkeiten ausrechnen kann. Denn so etwas wie „Sag doch mal, wie verhält sich das denn mit den Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln mit 3W6 gegenüber W20?“ ist eine Frage, die man nicht beantworten kann, ohne weitere Informationen zu bekommen, welche Ereignisse überhaupt gemeint sind.

Wahrscheinlichkeiten

Kommen wir nun endlich zu den Wahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit ist ein Maß für die Sicherheit des Eintritts eines Ereignisses. Dabei ist die Wahrscheinlichkeit ein beschränktes Maß; anders als z.B. Entfernungen gibt es eine maximale Wahrscheinlichkeit, nämlich die absolute Sicherheit (absolute Sicherheit = 1 = 100 %). Zudem ist die Wahrscheinlichkeit (wie alle Maße) niemals negativ und sigma-additiv.

Niemals negativ kapiert man ja noch. Aber Sigma-additiv? Was ist das denn? Das droht leider, ziemlich formal zu werden. Aber ich versuche das zu vermeiden. Erstmal: Was ist additiv? Addition kennen wir, das ist das Plusrechnen. Und wenn etwas additiv ist, dann darf man es zusammenzählen. Also: Wenn ich von hier zum Klo zwanzig Schritte gehen muss, und dann von da zum Bierkeller siebzig Schritte, dann bin ich insgesamt neunzig Schritte gegangen. Ich darf die Strecken also zusammenzählen. (allerdings nur, wenn sie sich nicht überlappen. Das kommt weiter unten noch einmal etwas genauer.) Das mit dem Sigma ist eine Einschränkung, die sich auf besonders große unendliche Summen bezieht: Wenn wir überabzählbare viele Teile addieren wollen, geht das im allgemeinen nicht mehr. Das interessiert uns aber nicht: Wir werden es damit nicht zu tun haben. Bei uns gilt: Solange sich die Ereignisse nicht „überlappen“, dürfen wir Wahrscheinlichkeiten zusammenzählen.

Spoiler zu "Unendlichkeit": (anzeigen)

Zum „Überlappen“. Was soll das bedeuten? Ich versuchs mal ganz einfach mit einem Beispiel: Ein Ereignis könnte sein, „Ich würfele mit einem W6 eine gerade Zahl.“ Ein anderes Ereignis: „Ich würfele mit einem W6 höchstens eine 3.“ Da die Zahl 2 in beiden Ereignissen vorkommt, dürfen die Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse nicht einfach addiert werden. Wenn Ereignisse sich nicht überlappen, so nennt man sie disjunkt.

Führen wir noch eine Abkürzung ein: P. P soll für „Probability“ stehen, also „Wahrscheinlichkeit“. Und wenn ich schreibe: „P(Ereignis)“ dann bezeichnet das die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses. Also z.B. P(W20=5) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass ein gewürfelter W20 eine 5 zeigt.

Fassen wir das Ganze noch einmal zusammen:
* P(Ereignis) = 1
Das Ereignis tritt sicher ein. Dies ist die maximale Wahrscheinlichkeit; eine größere Wahrscheinlichkeit gibt es nicht.

* P(Ereignis) = 0
Das Ereignis tritt sicher nicht ein. Dies ist die minimale Wahrscheinlichkeit; negative Wahrscheinlichkeiten gibt es nicht.

* P(Ereignis1 + Ereignis2) = P(Ereignis1) + P(Ereignis2)
Dabei dürfen sich die Ereignisse nicht überlappen. Und das gilt auch für unendlich viele Ereignisse (aber dazu müssen uns erst einmal unendlich viele Ereignisse einfallen, die sich nicht überlappen).

Damit ist mathematisch ziemlich genau festgelegt, was Wahrscheinlichkeit ist: Eine Maßzahl für Ereignisse. Und die Rechnerei damit ist tollerweise kompatibel sowohl mit dem bayesschen als auch mit dem frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff und stimmt somit mit unserer (sagen wir zumindest mit meiner) intuitiven Vorstellung von Wahrscheinlichkeit überein.

Beim nächsten Mal werden wir dann noch einmal zu den Ereignissen zurückkehren und genauer betrachten, was überlappende Ereignisse sind. Außerdem kann man damit dann rechnen üben. Und wir müssen unbedingt formaler werden, denn das vereinfacht das darüber reden.

Da ich so schön eingeladen wurde, eine kleine penetrante Anmerkung. Wenn man zwischen 3W6 und dem W20 unterscheidet, dann kann man, wie du es ganz richtig gesagt hast, Dom, nichts darüber aussagen, ob man mit dem einen oder dem anderen Wurf ein „erfolgreiches Ergebnis“ erzielen würde. Aber man kann eine Aussage darüber treffen, welche Würfelzahl wahrscheinlicher ist. Beim W20 ist jede Zahl gleich wahrscheinlich. Es ist genauso wahrscheinlich eine 20 wie eine 17 oder eine 3 zu würfeln.
Jedoch bei 3W6 addieren sich die Ergebnisse. Der Wahrscheinlichkeitsraum ist kleiner als beim W20, also nur von 3 bis 18, aber durch die Kombination der Augensummen der drei Würfel sind bestimmte Additionsergebnisse wahrscheinlicher — genau genommen ist die 11 am wahrscheinlichsten mit abnehmender Wahrscheinlichkeit in beide Richtungen.
Würde man also z.B. 100 mal (oder um Doms Vorgehen mit der Unendlichkeit aufnehmen), dann würde 11 am häufigsten vorkommen und 3 und 18 am wenigsten häufig. Grafisch betrachtet, hätte man eine schön gleichmäßige Welle. An den jeweiligen Enden hat die Welle ihren tiefsten Punkt und bei 11 ihren Höhepunkt.
Wer also 3W6 zur Hand hat, plastisch gesprochen eine Ochsenherde, kann mit einer gewissen Gewissheit davon ausgehen, dass 11 doch sehr wahrscheinlich ist. Wer bei DSA3 einen Glückliche Attacke hatte, konnte dagegen einen W20 nehmen und war sich nicht sicher, ob er mehr oder weniger SP als mit der Ochsenherde anrichten würde. Ob über oder unter 11 war seinerzeit alles gleich wahrscheinlich.

Galilei hat das bereits untersucht, aber seinen Namen hat diese Verteilung Gauß zu verdanken, die (Gaußsche) Normalverteilung.
Nun, warum führe ich die Gaußsche Normalverteilung ein? Es hat überhaupt keinen Grund, außer, dass sich Deutschlands bester Statistiker, Thilo Sarrazin, damit beschäftigt und in seinem hervorragend recherchierten und einwandfrei argumentierenden Buch zum Besten gegeben hat. Natürlich war sie bei ihm, wie fast jede andere Statistik auch, falsch. Anstelle von Zahlen, hat er nämlich Schulabschlüsse genommen, sie allerdings genau wie Zahlen verwendet (Addition). Jetzt kann jeder versuchen diese Abschlüsse in eine mathematische Hierarchie zu überführen bzw. sie zu addieren. Funktioniert nicht richtig, oder? Das sollte nur einen kleinen Eindruck geben, wie oft Statistik von einem guten Marketing und selbstbewußten Auftreten lebt.

Die Normalverteilung hat darüber hinaus eine gewisse Bedeutung im Qualitätsmanagement oder bei Sicherheitsrisiken. Um ein ganz absurdes Beispiel zu nehmen, wie sicher ist ein Atomkraftwerk.

Zitat von Dom:

Zitat von Thimorn:

Danke für die Verdeutlichung, ich hatte das nur mit meinem Nachsatz versucht, anzudeuten: Wenn jemand die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ergebnisse wissen möchte, dann kann man das natürlich ausrechnen. Darauf aufbauend (wegen der Sigma-Additivität) jede beliebige Wahrscheinlichkeit ableiten. Letztendlich führt das ja dann zum Begriff der Verteilung.

Keine Ahnung, ob das jetzt hier hingehört. Aber vielleicht als Anregung für einen etwaigen Teil 3:
Ich habe eine Frage. Bei der Umstellung von DSA3 auf DSA4 wurde auch die Regel geändert, die negative Probenwerte (Talent- oder Zauberfertigkeitswerte) betrifft; also Probenwerte, die entweder von sich aus bereits negativ sind (wie bspw. Schwimmen bei Zwergen) oder aber durch Erschwernisse in den negativen Bereich gedrückt werden. Die Regel nach DSA3 war, dass man den Malus des resultierenden TaW oder ZfW über die drei Eigenschaftsproben verteilt abbauen konnte. So, wie ich das mitbekommen habe, ist diese Regelung jedoch „viel zu einfach gewesen“, d. h. eine Probe mit einem letztendlichen TaW von -4 (bspw. eine Kletternprobe erschwert um 8 bei einem Kletterntalentwert von 4) war immer noch relativ leicht zu bestehen. (Das hat mal irgendwer auf irgendeiner Con mit irgendwelchen Bildchen von Wahrscheinlichkeitskurven erklärt. Sorry, ist schon länger her…)
Bei DSA4 sind nun im Falle eines negativen TaW oder ZfW alle drei Eigenschaftsproben um den negativen Betrag erschwert, um dieses Problem zu beheben. (Ist das eigentlich so gelungen?)
Nun meine Frage: Gibt es denn noch weitere derartige Stoplersteine im DSA-/D&D-/usw.-Regelsystem, die ich als Laie nicht gut erkennen kann? Falls ja, hätten unsere Zahlenjongleure evtl. probate Hausregeln für derlei Fälle auf Lager?

Ciao
Nicolas

Zitat von Dom:

Gerne doch. Mehr als eine Anmerkung/Verdeutlichung sollte es auch nicht sein.

Bis Ende Juni bringen wir noch allen die Monte-Carlo-Berechnung bei, dann können wir sie auf die Finanzmärkte loslassen. ;)

Zitat von Luciano:

Sich bei Stolperstein zu verstolpern hat was ;) Keine Angst, ist nicht böse gemeint.

Bei der Umstellung von DSA 3 auf 4 haben sich ja noch einige Sachen geändert, die sich auf die Proben auswirken. Die Steigerungsregeln haben sich grundsätzlich geändert, in dem bei DSA 4 die AP dazu verwendet werden Talente, Eigenschaften, negative Eigenschaften, Zauber, Liturgien und Sonderfertigkeiten zu kaufen. Zum Vergleich: mit den 100 ersten AP wäre man bei DSA3 bereits eine Stufe aufgestiegen und könnte bis zu 30 Talentpunkte für Steigerungen verwenden, eine schlechte Eigenschaft senken und eine gute Eigenschaft steigern. Das unterliegt natürlich gewissen Wahrscheinlichkeiten, ob es auch funktioniert. Mit 100 AP in DSA4 kommt man dagegen nicht allzu weit. Eigenschaften zu steigern ist ausgeschlossen und gerade bei „teuren“ Talenten wie körperlichen oder kämpferischen Talenten und entsprechend teuren Zaubern, kann man nicht viel reißen. (das wird durch spezielle Erfahrungen etwas, aber nicht sonderlich abgemildert) Der Vorteil ist natürlich, dass man nicht mehr die Steigerungen erwürfeln muss.

Man könnte also durchaus berechnen wie wahrscheinlich es in DSA 3 zu DSA 4 geworden ist, eine Probe zu bestehen. Allerdings müssen dazu bestimmte Randbedingungen erfüllt sein, um eine Vergleichbarkeit zu gewähren (viele kann man nicht berechnen, sondern muss sie „setzen“ — die aktuellen Arbeitslosenzahlen unterliegen auch solchen Setzungen um ein praktisches Beispiel zu geben):
(A) Die Festlegung der Eigenschaftswerte. In DSA 4 sind es 100 GP, davon sind 56 fest verteilt (Mindestwert 8). Der Rest ist willkürlich, also nach Spielerentscheid, verteilt oder auch nicht verteilt, da man ja nicht gezwungen ist alle GP zu verteilen. Der Vorteil von DSA 4 liegt in diesem Bereich darin, dass unter normalen Bedingungen Werte bis 14, in Zusammenhang mit Rassen, Kulturen und Vorteilen auch 15 und mehr möglich sein können.
In DSA3 liegt der Wert bei 7 + einer Zufallszahl von 1 bis 6. Man kann dabei keinen Mittelwert annehmen und auch keine wahrscheinliche Verteilung, weil alle sechs Zahlen der gleichen Zufälligkeit unterliegen und daher gleichberechtigt sind. Diesen Wert kann man durch das Erhöhen schlechter Eigenschaftswerte steigern (z.B. 2x Jähzorn = MU+1)
(B) Die Wertbasis bei Spielbeginn des jeweiligen Talents. Das ist nicht nur notwendig um den Wert zu ermitteln, sondern auch um spätere Steigerungskosten (DSA 4) bzw. Steigerungswahrscheinlichkeiten (DSA 3) berechnen zu können.
(C) Die Entscheidung das Talent zu steigern.

Nehmen wir also jeweils die drei fiktiven Eigenschaftswerte von 12 an (Setzung !) und einen ebenso fiktiven Wert von 4 in Klettern, dann ist auf der ersten Stufe die Wahrscheinlichkeit die Probe zu bestehen in beiden Systemvarianten gleich schlecht. Das macht auch den speziellen Charme von DSA seit der Anfängerbox aus. Man vergeigt ständig Proben: Im Beispiel liegt die Wahrscheinlichkeit die Probe zu bestehen, im Kopf überschlagen, bei etwa 30%.

Nun nehmen wir eine Steigerung von 200 AP an:
(A) Bei DSA 3 steigen wir eine Stufe auf. Ganz normativ nehmen wir eine Steigerung einer der drei beteiligen Eigenschaften und des Talents um zwei Punkte an. Die Wahrscheinlichkeit bei drei Würfen das zu erreichen ist erstaunlich: bei dreimal 40% ist das doch sehr wahrscheinlich. Beim Talentwert nehmen wir die im ersten Kommentar angesprochene Normalverteilung von Carl-Friedrich-Gauß (am wahrscheinlichsten ist die Kombination 7) und sehen auch hier eine sehr wahrscheinliche Steigerung um 2 Punkte, insb. da wir dreimal würfeln dürfen.
(B) Bei DSA 4 gibt es keinen Eigenschaftspunkt. Der ist zu teuer. Klettern können wir aber bis Talentwert 9 steigern und behalten sogar ein paar Punkte.

Es wird also bei DSA 4 wahrscheinlicher die Probe zu bestehen.

Was uns diese Randbedingungen aber nicht erzählen: Im Gegenzug hat man in DSA 3 28 anderen Talente steigern können. In DSA4 sind höhere Eigenschaftswerte wahrscheinlicher/anzunehmen. Das könnte man zwar gewichten, aber davon halte ich nicht so sonderlich viel.

@Luciano: Ja, wir können das gerne beim nächsten Mal auseinander nehmen. Vor allem auch, wie man sinnvollerweise daran geht, das Ganze zu berechnen.