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RPG allgemein: Wahrscheinlichkeiten und Statistik - zwischen Mathematik und Rollenspiel (Teil 1 (Blog) {Stochastik, Wahrscheinlichkeit, Statistik}
15.4.2011, 20:13
Dom

Zufall in Rollenspielen

Okay, Rollenspiele benutzen Zufallsgeneratoren, zumeist Würfel. Viele Spieler unterhalten sich über Wahrscheinlichkeiten und es wird darüber gestritten, ob nun 3W6 mit der niedrigeren Varianz besser sind als der W20 und wie die Erwartungswerte bei Fude-Dice sind. Dazu kommen noch explodierende Würfel, Proben mit Erfolgen und Würfelpools.

Es gibt Spieler, die sich darüber Gedanken machen. Und es gibt Rollenspiel-Autoren, die sich darüber Gedanken machen sollten. Und für alle die, die sich Gedanken machen wollen (aber es nicht so richtig wissen, wie es geht), für die ist diese Artikelreihe, die ich hiermit einleuten möchte.

(Im übrigen: Wie und ob sie weitergeführt wird, steht in den Sternen. Ich richte mich da ganz nach Feedback.)

Unsicherheit und Wahrscheinlichkeit

Ich habe es schon öfter geschrieben, wiederhole mich aber gerne: Wir reden bei Wahrscheinlichkeiten eigentlich nicht über Zufall, sondern über Gewissheit und Unsicherheit. Zumindest ist Gewissheit das, was Wahrscheinlichkeit misst. Was Zufall ist, ist mir zumindest nicht klar.

Wieso beharre ich so auf Unsicherheit und Gewissheit? Warum nicht Zufall? Weil es eine wirklich persönliche Sache ist. Beispiel gefällig? Ich habe soeben einen W20 gewürfelt und sehe das Ergebnis vor mir. Ich bin mir also sicher, ich weiß, was ich gewürfelt habe. Und? Weißt du, lieber Leser, was ich geworfen habe? Nein? Also ist das Ergebnis für dich unsicher, ich bin mir dagegen sicher. Und zwar 100 % sicher. Du bist dir unsicher. Jetzt rate mal, was ich hier habe. Rvar fvromrua. Und richtig geraten?
Wenn wir dieses Experiment häufig wiederholen würden (also: ich würfele, lese das Ergebnis ab und du rätst), würdest du in etwa einem von zwanzig Fällen richtig raten. Also von 100 Versuchen hättest du etwa 5 Erfolge, d.h. du bist dir beim Ergebnis nur zu 5 % sicher.

Im übrigen gibt man Wahrscheinlichkeiten entweder in Prozent an, oder (was gleichwertig ist) als eine Zahl zwischen 0 und 1. Dabei entspricht 0 = 0 % und 1 = 100 %. Die 5 % wären somit 0,05.
Der Vorteil bei den Prozenten ist, dass sie sich irgendwie einfacher sprechen und man eh Anteile oft in Prozent ausdrückt. Die meisten sind den Umgang mit Prozenten gewohnt. 50 % ist die Hälfte, 25 % ein Viertel. Der Vorteil von den Zahlen zwischen 0 und 1 ist, dass man damit besser rechnen kann. Das ist jetzt vielleicht unklar, wir werden das später aber sehen. Daher verwenden Mathematiker praktisch ausschließlich die Zahlen zwischen 0 und 1.

Beim nächsten Mal möchte ich das hier ein wenig formalisieren. Warum? Weil man dann einfacher drüber reden kann. Warum erst beim nächsten Mal? Damit die intuitive Vorstellung schonmal sacken kann. Denn ich möchte verhindern, dass wir auf eine rein formale Ebene abrutschen, ohne den Begriffen irgendwelche Bedeutungen zuzuordnen. Denn letztendlich ist es das, was oft die Leute an Mathematik nicht raffen: Sie sehen die Formeln und Begriffe, verknüpfen damit aber nichts „echtes“.

Okay, denke jetzt mal über folgendes nach:
1) Würfele mit 2W6. Die Wahrscheinlichkeit für eine 7 beträgt (etwa) 16,7 %.
2) Die Wahrscheinlichkeit, im Verkehr ums Leben zu kommen, betrug 2010 gerade mal 0,005 %.
3) Beim Wetterbericht für morgen spricht die Wetterfee von einer „Regenwahrscheinlichkeit von 40 %“. Was könnte das denn bedeuten?

Ich habe ja oben, als ich die Wahrscheinlichkeiten eingeführt habe, von der Wiederholung eines Experimentes geredet. Überleg einmal, wie es sich damit in diesen drei Fällen verhält. Was ist überhaupt wiederholbar? Ist es überhaupt sinnvoll, in diesen Fällen von Wahrscheinlichkeit zu reden? Und lies dazu einmal den Wikipedia-Artikel zum Thema Wahrscheinlichkeit.

Wer mag, kann gerne hierüber diskutieren.
16.4.2011, 09:51
Der Mönch
Jippie! :) Werde gleich mal den Wiki-Artikel lesen. Als Theologe kann ich nur sagen: Es gibt keine Zufälle :D
17.4.2011, 09:24
E-Mail – WWW
Andreas (Sphärengeflüster)
Ich freue mich auf den nächsten Teil. Hab irgendwie das Gefühl, solche Themen, welche die Basis von Regeln darstellen, sind in den letzten Jahren irgendwie ein wenig tabu geworden.
17.4.2011, 20:34
Thimorn
@Dom

Deine Beschreibung zu Gewissheit und Unsicherheit auf der einen und Zufall auf der anderen Seite überzeugen mich nicht wirklich. Aber eigentlich kann ich nichts genau dazu sagen, weil die Begriffe zu unbestimmt sind, auch wenn die nachfolgenden Beispiele mir einige Hinweise geben. Ich vermute, es soll auch so sein und kann mir auch schon denken, worauf es hinauslaufen soll. Eine Vorgehensweise, die ich im übrigen didaktisch sehr gelungen finde.
Das Werfen eines Würfels und das Ablesen des Ergebnis stützt deine Begriffe meiner Meinung nicht. Es ist ja kein stochastisches Verfahren — ich nehme dreist an, du sprichst immer von der Wahrscheinlichkeit im matematischen/statistischen Sinne. Denn dabei stellt man Vermutungen an wie etwas in der Zukunft aussehen könnte und wie wahrscheinlich es ist (hier möchte ich aber wegen deiner drei Fragen an die Runde nicht weiter darauf eingehen). In dem Beispiel würdest du aber einfach das Ergebnis ablesen. Damit wäre der Wurf bereits Vergangenheit. Somit würde Gewissheit für mich im Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeit keinen Sinn machen — natürlich nur unter der obigen Maßgabe.
Unsicherheit über die Wahrscheinlichkeit, ob man richtig liegt, besteht nur beim Rater.

Wahrscheinlichkeit und Zufall sind meiner Meinung zwei unterschiedliche Sachen. Unter Wahrscheinlichkeit (oder Sicherheit) versteht man ja üblicherweise — also mathematisch üblicherweise -, ob ein bestimmtes Ereignis eintritt. Zum Beispiel welche Zahl dein Würfelwurf zeigt. Es wird also vom Ergebnis her interpretiert.
Zufall dagegen geht von den Bedingungen aus. Ein Ergebnis ist abhängig von bestimmten Handlungen (Würfelwurf) und den Randbedingungen des Erfolges/Mißerfolges (Schwellenwerte des Würfelwurfs). Welches Ergebnis aber genau eintritt, darüber trifft der Zufall keine Interpretation. Es hätte eine 5 genauso wie eine 17 sein können. Der Begriff Zufall ist also deutlich unbestimmter. Man kann ihn nicht durch eine Zahl ausdrücken, da er nur die Charakterisierung eines Verfahren ist.

Zufall ist dabei nicht vom freien Willen wie es Theologen und Philosophen diskutieren abgegrenzt, sondern von der Willkür. Der Zufall geht davon aus, dass das Ergebnis von gewissen Bedingungen abhängig ist. Ein Ereignis hätten unter einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintreten können. Ein anderes Ereignis hätte aber auch eintreten können. Wieso das eine, aber nicht das andere Ergebnis eintrat, lässt der Zufall unbestimmt. Eine Grundannahme des Zufalls ist ein gewisser vordefinierter Raum, in welchem sich die Ergebnisse bewegen: Beim W20 sind es die Zahlen von 1 bis 20. Andere Zahlen können nicht vorkommen. Die Willkür dagegen bestimmt irgendetwas zum Ergebnis (das geht übrigens auch mit Statistik, allerdings eher mit Fälschungen). Sie unterliegt keinen Bedingungen und kann daher nicht mit bestimmten Annahmen vorhergesagten werden. Man kann noch nicht mal bestimmen, ob sie im Wahrscheinlichkeitsraum des W20 (1-20) vorkommt oder, ob sie überhaupt eine Zahl und nicht „grün“ oder „ein Auto“ ist.

Wie du daraus schon entnehmen kannst, kann ich mit Gewissheit nicht so viel anfangen. Besteht für mich Gewissheit, dann handelt es sich für mich um keine Wahrscheinlichkeit mehr.

Mehr möchte ich auch gar nicht dazu sagen, weil du ja die Frage an die Leute gerichtet hast, die nicht so viel Ahnung von Statistik haben. Deswegen wollte ich das an dieser eher unwichtigen (hoffentlich?) Stelle etwas konkretisieren.
17.4.2011, 21:16
rillenmanni
„Gewissheit“ wird in der Mathematik aber doch synonym zu „Sicherheit“ gebraucht, so entnehme ich das zumindest dem Wikipedia-Artikel und von dort referenzierten Artikeln. Somit ging ich davon aus, dass Dom den Begriff auch ebenso benutzt hat. Wenn das der Fall ist, dann reden wir hier doch über eine fixe Terminologie, also einen bestimmten / bestimmbaren Begriff (Der Grad der Gewissheit alias Sicherheit bewegt sich im Zahlenraum 0 bis 1 bzw 0 bis 100%). Weshalb ist das dann diskussionswürdig? (Keine Kritik, Thimorn, (m)eine reine Verständnisfrage.) Bezogen auf die Gewissheit eines bestimmten Würfelwurfs (Beispiel: 1 bei 1W6 = 0,1667; Doppel-1 bei 2W6 = 1/36; Dreifach-1 bei 3W6 = 1/216) erfolgt die Berechnung der Wahrscheinlichkeit doch auch stets im Hinblick auf ein zukünftiges Ereignis.

Etwas wirklich Kluges kann ich aber leider nicht beitragen, Doms didaktische Kniffe hin oder her. Mir fehlen ein wenig die Worte, um meine Gedanken in (gefühlt) sinnvolle Antworten auf Doms Fragen zu gießen.
zuletzt geändert: 17.4.2011, 21:17
18.4.2011, 07:20
Dom
@Thimorn

Wie rillenmanni schreibt, benutze ich hier Sicherheit und Gewissheit fast synonym. Gewissheit hat für mich nur einen so schön persönlichen Beiklang, wohingegen Sicherheit universell ist: Wie sicher ist es, das ein Ereignis eintritt? Wenn sich der eine einer Sache gewiss ist, muss diese Gewissheit für den anderen noch längst nicht gelten. Und so fasse ich die Sache mit der Wahrscheinlichkeit auf: Für mich ist das Ergebnis des Würfelwurfs sicher, ich habe Gewissheit darüber. Für dich dagegen ist es unbekannt, es ist nicht sicher. Der Würfelwurf ist zwar vergangen, über das Ergebnis herrscht bei dir jedoch trotzdem Unsicherheit. Von daher kann (und sollte!) deine persönliche Sicherheit/Gewissheit mit Wahrscheinlichlichkeiten beschrieben werden.

Zitat von Thimorn:

Unsicherheit über die Wahrscheinlichkeit, ob man richtig liegt, besteht nur beim Rater.
Meinst du das so? Dass der Rater nicht weiß, welche Wahrscheinlichkeit es ist?
zuletzt geändert: 18.4.2011, 10:44
18.4.2011, 11:05
Dom
Zu den drei Punkten am Ende, zunächst nur zum ersten Punkt. Rillenmanni, vielleicht kannst du das ja auf 2) und 3) übertragen ;-)

1) Mit 2W6 würfeln kann man locker wiederholen, mehr oder weniger unendlich oft. Jedes mal mit 2W6 würfeln ist ein neues, unabhängiges Experiment. Und dann kann man zählen, wie oft tatsächlich die Augensumme genau 7 ist. Wenn man nur häufig genug würfelt, ist das Ergebnis so etwas ähnliches wie „Anzahl der Versuche geteilt durch 6“, d.h. in 1/6 = 0,167 = 16,7 % der Fällen ist 2W6=7. Also könnte man, wenn man fragt: „Werde ich mit 2W6 eine 7 würfeln?“ diese Wahrscheinlichkeit als 1/6 bezeichnen.

Umgekehrt ist es auch klar: Wenn mir jemand einen W6 in die Hand drückt und sowas sagt wie: „Die Wahrscheinlichkeit, mit diesem speziellen Würfel eine 1 zu werfen, beträgt 14,5 %.“ Dann erwarte ich, dass wenn ich 1000 mal würfele, ich so 140 bis 150 Mal tatsächlich eine 1 würfele. Und nicht 170 Mal, wie es bei einem normalen W6 der Fall wäre. (Was man tatsächlich erwarten kann, darauf werde ich dann später eingehen. Einiges später.)

Wie diese Angaben hier zu verstehen sind, ist ziemlich klar definiert. Ich habe ein Experiment, dass ich in unabhängigen Versuchen oft wiederholen kann. Und diese Experimente kann ich zählen, ich kann nachprüfen ob die Wahrscheinlichkeitsangabe stimmt oder nicht.
18.4.2011, 11:06
Thimorn
Es geht mir nicht grundsätzlich um den Begriff Gewissheit, sondern um seine Anwendbarkeit im ersten Beispiel, die Zahl des W20-Wurfs richtig zu erraten.

Es geht in dem Beispiel nicht darum, mit welcher Wahrscheinlichkeit für den Würfelnden etwas eintritt, sondern mit welcher Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes Würfelergebnis vom Rater richtig erraten wird. Der Würfler unterliegt keinerlei Wahrscheinlichkeit, da er nur das Ergebnis abliest.
Das ist im übrigen auch für den Rater ein Ereignis, das in der Zukunft liegt, nämlich, ob sein Rateversuch zutrifft oder nicht.
Da der Würfel gefallen ist, ist das auch unabhängig von seiner Rateentscheidung — abgesehen vom Wahrscheinlichkeitsraum 1 — 20 natürlich. Es würde an der Wahrscheinlichkeit nichts ändern, wenn erst nach seinem Rateversuch gewüfelt wird.

Um mich kurz zu fassen. Mathematisch liegen der Rater und der Würfler auf unterschiedlichen Ebenen. Man kann sie nicht in dasselbe stochastische System integrieren.

Zitat von Dom:

Meinst du das so? Dass der Rater nicht weiß, welche Wahrscheinlichkeit es ist?
Nein, sondern zunächst, dass derjenige, der den Würfel wirft überhaupt keiner Unsicherheit unterliegt, da er nur das Ergebnis abliest. Er muss nicht darüber nachdenken, ob seine Handlung zu einem gewünschten Ergebnis führt. Deswegen besteht nur beim Rater die Unsicherheit, ob er mit seinem Rateversuch richtig liegt.
18.4.2011, 13:38
Dom

Zitat:

Um mich kurz zu fassen. Mathematisch liegen der Rater und der Würfler auf unterschiedlichen Ebenen. Man kann sie nicht in dasselbe stochastische System integrieren.
Schön gesagt.
Das mit den Ereignissen bekommen wir dann beim nächsten Mal genauer.
25.4.2011, 21:18
Dom
Zur Aufklärung (und vor dem zweiten richtigen Posting zum Thema) noch die Aufklärung der beiden letzten Punkte:

Zum 2. Punkt: Auch hier wird gerne der Begriff „Wahrscheinlichkeit“ verwendet. Genauer gesagt, war es aber ein Anteil an Personen. Wenn man im Nachhinein die Bewegung jedes einzelnen Deutschen im Straßen als Experiment auffasst, so gab es ca. 80 Millionen Experimente, von denen offenbar 0,005 % gelungen sind (d.h. 0,005 % der Menschen sind im Straßenverkehr gestorben).

In diesem Sinne ist auch dieser Wahrscheinlichkeitsbegriff – wie Punkt 1 – eng mit dem Zählen, genauer mit der relativen Anzahl gelungener Versuche, verbunden. Was wir beschreiben, ist somit eigentlich eine relative Häufigkeit. Diese Auffassung von Wahrscheinlichkeit nennt man „frequentistisch“. Der Vorteil ist, dass man exakt beschreiben kann, was man mit Wahrscheinlichkeit meint: Wenn ich ein Experiment häufig auf gleiche Art und unabhängig voneinander durchführe, dann gelingt es mit der angegebenen Häufigkeit (die als Wahrscheinlichkeit bezeichnet wird).
Das ist auch der Wahrscheinlichkeitsbegriff, der für die Regel-Mathematik in Rollenspielen der wichtige ist. Beim Würfeln gilt das genauso wie beim Karten ziehen. Die Wahrscheinlichkeit entspricht der Häufigkeit, mit der Experimente gelingen.

Zum 3. Punkt: Diese Angabe übers Wetter ist sicherlich nicht frequentistisch. Denn „dasselbe Experiement“ würde bedeuten, dass man häufig dieselbe Wettersituation auswertet. Was bedeutet aber überhaupt „dieselbe Wettersituation“?
Viel wahrscheinlicher (sic!) ist daher, dass Exeperten die Regenwahrscheinlichkeit geschätzt haben. Die Angabe zur Wahrscheinlichkeit ist demnach „bayes'sch“, es ist die (wie in der Wikipedia nachzulesen ist) „Sicherheit in der persönlichen Einschätzung eines Sachverhaltes“.

Interessant ist, dass man mit beiden Begriffen auf dieselben mathematischen Regeln kommt, die wir dann beim nächsten Mal betrachten werden.
26.4.2011, 15:34
Thimorn
Was das Wetter angeht, liegst du leider falsch. Es werden tatsächlich die vergangenen Wettersituation nach bestimmten Indikatoren (u.a. Windrichtung, -geschwindigkeit, Luftfeuchte, Temperatur) ausgewertet und welches Ereignis (Regen oder Sonne) dabei eintrat. Wenn in 34% der gleichen Fälle Regen auftrat, dann wird die Wahrscheinlichkeit auch mit 34% angegeben.
Die bayesschen Netze verwendet man um entsprechende Lücken zu schließen, da ja nicht überall und zu jedem Zeitpunkt Wetter- und Klimastationen (ist nur repräsentativerer Standort als eine Wetterstation) zur Verfügung stehen.
27.4.2011, 05:27
Dom

Zitat:

Was das Wetter angeht, liegst du leider falsch. Es werden tatsächlich die vergangenen Wettersituation nach bestimmten Indikatoren (u.a. Windrichtung, -geschwindigkeit, Luftfeuchte, Temperatur) ausgewertet und welches Ereignis (Regen oder Sonne) dabei eintrat. Wenn in 34% der gleichen Fälle Regen auftrat, dann wird die Wahrscheinlichkeit auch mit 34% angegeben.
Echt? Cool. Das ist mir neu… Hassu nen Link dazu?
28.4.2011, 17:04
Thimorn
Ja und ich geb ihn dir auch:
Welt der Physik
10.5.2011, 06:27
Dom
Meldung von heute (Aller-Zeitung): Erfolgschance lag bei nur 55 % Erstmals spricht der US-Präsident im Fernsehen über die Tötung bin Ladens.
10.5.2011, 17:40
Thimorn
Heißt das, zu 45% hätten sie das falsche Haus gestürmt?
10.5.2011, 21:29
rillenmanni
Nein, zu 45% wären sie alle von Bin Laden mit Karate außer Gefecht gesetzt worden. Und dann hätte der Obama dem Osama mittels Helmkamera beim Kacken zusehen müssen. =)

Aber ja, die 55%-Aussage ist mir auch sofort aufgefallen. Tatsächlich hatte unser Präsident gar keine echten Prozentzahlen bei der Hand; er wollte für die Öffentlichkeit nur das Gänsehaut-Auf-des-Messers-Schneide-Münzwurf-Gefühl aufkommen lassen.
11.5.2011, 20:17
Dom
Wie auch immer: Obama ist Baysianer ;-)
RPG allgemein: Wahrscheinlichkeiten und Statistik - zwischen Mathematik und Rollenspiel (Teil 1 (Blog) {Stochastik, Wahrscheinlichkeit, Statistik}
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