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Dom erklärt:

Lotto-Spiel und Wahrscheinlichkeiten

Frage: Wäre es dir möglich, auf einer gewissen Zahlengrundlage, wahrscheinliche Lotto-Zahlen zu berechnen?

Kurze Antwort: Nein, jedenfalls auf keiner Zahlengrundlage, die man realistisch ermitteln kann. Aber: Man kann auf einer gewissen Datengrundlage den erwarteten Gewinn erhöhen.

Lange Antwort: Man muss erstmal verstehen, was man mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie überhaupt berechnen kann. Denn ein Würfel beispielsweise zeigt ja immer andere Ergebnisse, wie soll man da was berechnen können?

Ein paar Mathematiker haben sich dann was schlaues einfallen lassen: Sie erfanden ein Maß um Unsicherheit auszudrücken und dieses Maß heißt Wahrscheinlichkeit. Grundlegende Idee ist, dass man alles, was passieren kann, in sogenannte Ereignisse aufteilen kann. Ein Ereignis ist etwas, von dem man nach dem Zufallsexperiment eindeutig sagen kann: "Ja, das Ereignis ist eingetreten" oder "Nein, das Ereignis ist nicht eingetreten".

Bleiben wir beim Lotto. "Anzahl der Personen, die 6 Richtige getippt haben" ist kein Ereignis, denn nach der Ziehung haben vielleicht 2 Leute 6 Richtige und der Rest nicht aber man kann nicht sagen, dass die Anzahl irgendwie eingetreten ist. "Eine der gezogenen Zahlen ist eine 42" ist dagegen ein Ereignis, denn entweder ist die gezogen worden oder nicht. Ist das Ereignis eingetreten bezeichnet man das Zufallsexperiment als gelungen. Wenn ich also Lotto spiele und sage "Ich habe keinen Richtigen" dann würde eine einzige korrekt getippte Zahl bedeuten, dass das Experiment misslungen ist. Es kommt also immer auf den Standpunkt an.

An dieser Stelle ist es sinnvoll, elementare Ereignisse als Besonderheit herauszustellen, denn die spielen im Folgenden noch eine wichtige Rolle. Ein elementares Ereignis ist ein Ereignis, das man nicht weiter zerteilen kann. Beim Würfeln könnte ich fragen "Werfe ich eine gerade Zahl?" Das ist dasselbe wie "Werfe ich 2, 4 oder 6?" Hier sieht man leicht, was die elementaren Ereignisse sind, nämlich die Ereignisse "Würfel zeigt 1", "Würfel zeigt 2", ... , "Würfel zeigt 6". Wichtig ist, dass jedes mögliche Ereignis sich in Elementarereignisse zerlegen lässt. Sie stellen sozusagen die Grundlage der Ereignisse dar. Beim Lotto-Spiel ist übrigens jede einzelne mögliche Tippreihe ein Elementarereignis. (Aufgabe: Warum ist nicht "Eine der gezogenen Zahlen ist 42" kein Elementarereignis? Die Lösung gibts unten bei [1])

Aber zurück zur Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl zwischen 0 und 1, wobei die Zahlen 0 und 1 Sicherheit bedeuten und alle Zahlen dazwischen Unsicherheit. 0 bedeutet "Das Ereignis tritt nie ein" (=das Experiment misslingt immer) und 1 heißt "Das Ereignis tritt immer ein" (=das Experiment gelingt immer). Alle Zahlen dazwischen geben eine Tendenz wieder. Genauer: Es ist der Anteil der gelungenen Experimente, der sich bei unendlich langen Versuchsreihen einstellt. Weil Zahlen zwischen 0 und 1 "normalen Leuten" blöd erscheinen, drücken viele die Wahrscheinlichkeit lieber in Prozent aus. Dabei bedeutet z.B. eine Wahrscheinlichkeit von 0.34 dasselbe wie eine Wahrscheinlichkeit von 34 % und das heißt einfach nur, dass man, wenn man unendlich viele Versuche macht, 34 % der Versuche gelingen werden. Weil aber die Prozentzahlen blöd zum Rechnen sind, benutzen Mathematiker lieber die Werte zwischen 0 und 1. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten von allen möglichen Elementarereignissen ist immer 1, denn das Ereignis "Ein beliebiges Elementarereignis tritt ein" ist ein sicher eintretendes Ereignis.[2]

Erste wichtige Erkenntnis: Zufall in der Mathematik wird also gar nicht als Unsicherheit behandelt, die mal dieses oder mal jenes Ergebnis hat; Zufall wird einfach mit einer einzigen, festen Zahl beschrieben, die das langfristige Verhalten ausdrückt. Das ist ein Trick, eine große Errungenschaft des 20. Jahrhunderts. Einen Würfel kann man auf einmal präzise beschreiben, indem man allen Elementarereignissen die Wahrscheinlichkeit zuordnet und sagt: Die 1 tritt auf mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6, die 2 tritt auf mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6, usw. Und ein Würfel, bei dem die Wahrscheinlichkeit für eine 6 statt 1/6 sogar 1/5 ist, ist gezinkt. Das fällt zwar nicht sofort auf, aber auf Dauer macht sich das schon bemerkbar.

Soweit, so einfach. Jetzt ist aber die Frage: Was ist eingentlich der Zufall, den wir da messen? Gibts das überhaupt?

Beipiel: Stell dir vor, ich will würfeln und du mir dabei zusehen.

  1. Vor dem Wurf ist ganz klar: Das Ergebnis des folgenden Wurfes ist Zufall und wir kennen das Ergebnis nicht.
  2. Ich würfele mit einem Becher und der Würfel liegt nach dem Wurf noch verborgen. Wir wissen beide nicht, was der Würfel zeigt. Ist das Ergebnis noch Zufall? Eigentlich nicht. Es steht ja schon fest, nur wir kennen es nicht. Trotzdem herrscht Unsicherheit über das Ergebnis.
  3. Ich schaue heimlich unter den Becher und sehe das Ergebnis, du kennst es aber nicht. Ist es noch Zufall? Nein, klar. Das Ergebnis ist mir ja schon bekannt. Für mich steht es fest, für dich ist es aber weiterhin nicht anders, als hätte ich noch gar nicht gewürfelt; die Unsicherheit ist dieselbe.

In allen drei Fällen ist aus deiner Sicht das Ergebnis unklar und du kannst diese Unsicherheit über Wahrscheinlichkeiten beschreiben. Daher kommt man tatsächlich zu dem Schluss, dass der Zufall (im mathematischen Sinn) eigentlich nur eine Unsicherheit ist, d.h. etwas, über das wir keine vollständigen Informationen haben. Denn aus der Sicht des Unwissenden ist es egal, ob das Experiment schon stattgefunden hat oder nicht. Solange er den Ausgang nicht kennt, ist er unsicher und die Erfolgswahrscheinlichkeit kann mit einer Zahl zwischen 0 und 1 angegeben werden. Damit kannst du Wahrscheinlichkeitstheorie auch auf Bereiche ohne echten Zufall anwenden, z.B. auf das Verhalten von Menschen (Stichwort Bundestagswahlen, Börse, Meinungsumfragen).

Wozu erzähle ich das Ganze? Weil man hier schon sieht, dass die Mathematik was anderes ist als die Realität. Denn wer führt schon unendlich viele Versuche durch, um rauszukriegen, wie groß eine Wahrscheinlichkeit ist? Und wer sagt, dass wenn ich dann nochmal unendlich viele Versuche durchführe, dass dann wieder dieselbe Wahrscheinlichkeit rauskommt und keine andere? Außerdem: Wenn ich weiß, dass ein Ereignis mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintritt, weiß ich immer noch nicht, was in Wirklichkeit passiert, wenn ich das Experiment nochmals durchführe. Das führt uns zur

Zweiten wichtigen Erkenntnis: Die heutige Wahrscheinlichkeitstheorie ist nur ein Modell der Realität, das in der Lage ist, Tendenzen zu erfassen. Man kann keine präzisen Vorhersagen treffen, da die Mathematik nur Wahrscheinlichkeiten, also Häufigkeiten bei unendlich vielen Versuchen, erfasst. Weil niemand so viele Versuche durchführen kann, geht es also um langfristige Tendenzen, um viele Wiederholungen. Das ist natürlich keine Aussage darüber, was vielleicht in Zukunft mit besserer Mathematik möglich ist. Vielleicht kann man den Zufall ja noch besser in den Griff kriegen, auch wenn ich das für sehr unwahrscheinlich (sic!) halte.

Um mal eine Größenordnung anzugeben, was "viel" ist: Ein normaler Würfel hat ja lediglich 6 mögliche Ergebnisse. Um die Wahrscheinlichkeiten halbwegs genau zu messen, kommt man erst bei etwa 5000 Würfen langsam in den Bereich, in dem sich die relativen Häufigkeiten für das Gelingen der verschiedenen Ereignisse stabilisieren. Je mehr mögliche Ergebnisse es gibt, umso mehr Versuche muss man durchführen, damit sich die Ergebnisse stabilisieren.

Und damit sind wir auch schon bei der

Dritten wichtigen Erkenntnis: Alle Annahmen über Wahrscheinlichkeiten entstammen idealisierten Denkmodellen. Wir gehen beim Würfel davon aus, dass alle Seiten gleich wahrscheinlich sind, also geben wir ihnen, wenn wir irgendwelche Wahrscheinlichkeiten ausrechnen, alle dieselbe Chance von 1/6. Genauso bekommen alle 49 Kugeln beim Lotto für irgendwelche Berechnungen dieselbe Ziehungswahrscheinlichkeit, obwohl das natürlich nicht wirklich nachgewiesen werden kann. Tatsächlich geht es beim Lotto aber nicht um das Ziehen einer einzelnen Kugel sondern von 6 aus 49 Kugeln, was ca. 14 Millionen Möglichkeiten ergibt. Wir gehen bei irgendwelchen Berechnungen mit Lotto-Ergebnissen immer davon aus, dass alle diese mit derselben Wahrscheinlichkeit eintreten. Aber wissen wir das? Nein. Können wir das jemals nachprüfen? Nein. Denn dann müsste man sicherlich mindestens mehrere Milliarden mal mit der Original-Lotto-Maschine Zahlen ziehen, was aber alleine aufgrund der Dauer pro Ziehung völlig unmöglich ist.

Eine weitere Annahme, die man zur Berechnung von Lotto-Wahrscheinlichkeiten macht (und die man für die Definition von "Wahrscheinlichkeit" erstmal immer braucht), ist die stochastische Unabhängigkeit der Lotto-Ziehungen. Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit verändert sich im Laufe der Versuche nicht, unsere unendlich vielen Versuche beeinflussen sich nicht gegenseitig. Diese Annahme bedeutet aber auch: Egal, was für Zahlen bisher beim Lotto gekommen sind, sie sagen nichts darüber aus, was noch kommen wird. So gab es im Laufe der Lotto-Geschichte tatsächlich schon eine Zahlenkombination, die zweimal aufgetaucht ist. Da haben die Leute gesagt: "Manipulation! Sowas kann doch gar nicht sein!" Dennoch ist es passiert und die Wahrscheinlichkeit für so ein Ereignis ("Zweimal innerhalb von 30 Jahren dieselben Lotto-Reihen) ist gar nicht so unwahrscheinlich, wie es zunächst vielleicht klingen mag.[3]

Vierte wichtige Erkenntnis: Mathematisch geht man beim Lotto-Spiel von unabhängigen Versuchen aus, d.h. man setzt sogar voraus, dass man von vorherigen Ergebnissen nicht auf eine spätere Ziehung schließen kann. Das bedeutet nichts anderes, als dass es aus Sicht der heutigen Mathematik unmöglich ist, aufgrund alter Ergebnisse auf zukünftige zu schließen. Auf der anderen Seite sind die Versuche in der Realität natürlich nicht unabhängig, denn es werden jede Woche dieselben Kugeln und dieselbe Maschine verwendet. Somit wird auch hier wieder deutlich, dass die Mathematik die Realität nur unzureichend abbildet.

Trotzdem ist die Wahrscheinlichkeitstheorie sehr erfolgreich und findet vor allem in Form von schließender Statistik viel Anwendung. Das liegt daran, dass einerseits diese idealisierten Denkmodelle plausibel sind und mit den Erfahrungen in der Realität sehr gut übereinstimmen, andererseits wird Wahrscheinlichkeitstheorie benutzt, um sein langfristiges Verhalten daran auszurichten. Und weil Wahrscheinlichkeit etwas ist, was sich erfahrungsgemäß auf Dauer einstellt, ist ein Verhalten, dass auf einer Anwendung von Wahrscheinlichkeitstheorie beruht, langfristig erfolgreich.

Um diesen langfristigen Erfolg zu präzisieren wird der Begriff des Erwartungswertes eingeführt. Dazu müssen wir zunächst allen möglichen elementaren Ereignissen einen Wert zuweisen, ich nenne das mal den Erfolgswert. Der Erfolgswert ist eine beliebige Zahl, die angibt, wie "toll" es ist, wenn das Elementarereignis eintritt. Wichtig ist, dass man tatsächlich jedem Elementarereignis, das mit einer Wahrscheinlichkeit größer 0 eintreten kann, einen Erfolgswert zuweisen können muss. Ist das nicht der Fall, so kann man den langfristigen Erfolg, um nichts anderes handelt es sich beim Erwartungswert, nicht messen (denn es könnte ja ein Ereignis eintreten, dem man keinen Erfolg zuordnen kann).

Der Erwartungswert ist definiert als der langfristige, mittlere Erfolg pro Experiment. Berechnen kann man das, indem man den Gewinn mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtet und zusammenzählt. Einfaches Beispiel: Wenn in 50 % der Fälle der Gewinn 20 ist, in 30 % der Fälle der Gewinn 10 beträgt und in 20 % der Fälle kein Gewinn rauskommt, ist der Erwartungswert 50 % von 20 plus 30 % von 10, macht 10+3 = 13. Das interessante ist jetzt, dass man mit Sicherheit nicht genau 13 Gewinn macht, sondern 20, 10 oder 0. Aber wenn man langfristig den Durchschnitt ausrechnet, wie viel Gewinn man macht, dann kommt man in diesem Beispiel auf etwa 13000 in 1000 Versuchen.

Etwas konkreteres aber auch komplizierteres Beispiel: Ich schlage folgendes Würfelspiel vor: Einer von uns würfelt mit 2W6. Wenn eine 7 fällt, bekomme ich von dir 10 Euro. Bei einer geraden Zahl bekommst du 3 Euro. Ansonsten passiert nichts. Die Frage ist: Ist es für dich sinnvoll, mit mir zu spielen? Aus meiner Sicht sieht der Gewinn also wie folgt aus: Gewinn(7) = 10, Gewinn(2) = -3, Gewinn(4) = -3, Gewinn(6) = -3, Gewinn(8) = -3, Gewinn(10) = -3, Gewinn(12) = -3. Außerdem Gewinn(3) = 0, Gewinn(5) = 0, Gewinn(9) = 0 und Gewinn(11) = 0. Aus deiner Sicht ist der Gewinn gerade umgekehrt: Gewinn(7) = -10, Gewinn(2) = 3, Gewinn(4) = 3, Gewinn(6) = 3, Gewinn(8) = 3, Gewinn(10) = 3, Gewinn(12) = -3. Außerdem ist auch für dich Gewinn(3) = 0, Gewinn(5) = 0, Gewinn(9) = 0 und Gewinn(11) = 0. Die Wahrscheinlichkeiten sind im übrigen bei 2 Würfeln wie folgt: Wkt(2) = 1/36, Wkt(3) = 2/36, Wkt(4) = 3/36, Wkt(5) = 4/36, Wkt(6) = 5/36, Wkt(7)=6/36, Wkt(8) = 5/36, Wkt(9) = 4/36, Wkt(10) = 3/36, Wkt(11) = 2/36, Wkt(12) = 1/36. Berechnet man nun den erwarteten Gewinn, so ergibt sich ein Erwartungswert von 0.1666 für mich und -0.1666 für dich, d.h. auf Dauer mache ich bei diesem Spiel pro Würfelwurf einen leichten Gewinn und du einen leichten Verlust. Aber gerade wenn wir nur einmal spielen, ist völlig unklar, ob nichts passiert, du drei Euro von mir bekommst oder ich 10 Euro von dir bekomme. Es ist zwar wahrscheinlicher, dass du drei Euro bekommst allerdings ist dein Verlust höher, wenn ich die 10 Euro bekomme.

Fünfte wichtige Erkenntnis: Der Erwartungswert beschreibt den Gewinn, der bei häufiger Wiederholung im Mittel zu beobachten ist und nicht viel über den Einzelfall aussagt. Trotzdem ist es natürlich sinnvoll, sich auch bei einzelnen Experimenten so zu verhalten, dass der Erwartungswert maximiert wird. Denn wenn es langfristig sinnvoll ist, dann kann die Entscheidung ja im Einzelfall nicht schlecht sein, oder? Leider ist der Zufall so unberechenbar, dass man über den Einzelfall nicht wirklich was sagen kann.

So, wie kann man nun aber den Erwartungswert beim Lotto, wie Eingangs behauptet, verbessern? Machen wir uns nochmal folgendes klar: Wir tippen Zahlen und hoffen auf einen Gewinn. Um den Erwartungswert zu berechnen müssen wir nun allen 13 Millionen möglichen Elementarereignissen einen Gewinn zuordnen. Dummerweise klappt das aber nicht, denn wir wissen ja gar nicht, wie viel Geld ausgeschüttet wird und wie viele Leute sich den Gewinn teilen müssen. Das heißt, auch der Gewinn ist zufallsbehaftet, denn er hängt vom Verhalten der Mitmenschen ab: Wie viele Leute spielen mit und was tippen sie?

Da bereits sehr viele Leute Lotto gespielt haben, kann man über die Unsicherheit "Was tippen die anderen" recht genaue Aussagen machen. Viele tippen Geburtsdaten, Muster und einfache Kombinationen; die häufigste Tippreihe ist bislang "1 2 3 4 5 6". Das bedeutet aber auch, dass wenn man mit "1 2 3 4 5 6" einen Gewinn landet, dann muss man ihn wahrscheinlich(!) mit vielen anderen Leuten teilen, d.h. der Erwartungswert sinkt. Man muss also die Lotto-Tippreihen der anderen analysieren und selber Zahlen tippen, die möglichst (d.h. mit einer großen Wahrscheinlichkeit) niemand anderes tippt. Das sollten dann Zahlen sein, die auf dem Lotto-Schein kein Muster ergeben und die auch Zahlen von 32-49 beinhalten, denn die kommen in Geburtsdaten seltener vor.

Allerdings kann man ausrechnen, dass leider in jedem Fall der erwartete Gewinn negativ ist, d.h. im Mittel verliert man auf Dauer mehr Geld als man gewinnt, wenn man Lotto spielt. Wo liegt dann aber der Reiz beim Lotto? Der Hauptgewinn, wenn er denn dann kommt, ist sehr hoch. Wenn du also der Glückliche mit 6 Richtigen und eventuell noch der Superzahl bist, dann werden die Verluste den Gewinn nicht mehr ausgelichen, selbst wenn du für den Rest deines Lebens noch weiter Lotto spielst. Denn der Erwartungswert stellt sich bei unendlich vielen Versuchen ein, nicht unbedingt bei endlich vielen.

Sechste wichtige Erkenntnis: Eigentlich lohnt sich Lotto-Spielen auf Dauer nicht, da ändert es auch nichts dran, dass man in der Lage ist, den erwarteten Gewinn etwas zu erhöhen. Allerdings gilt das, was mein (inzwischen leider verstorbener) Kollege Thomas Maxsein immer gesagt hat: "Der Einsatz bringt mich nicht um, aber ein Sechser würde meine Finanzen restaurieren."


[1] "Eine der gezogenen Zahlen ist 42" steht für eine große Anzahl an Tippreihen, nämlich alle, in denen 42 vorkommt. Das Ereignis kann man in etwa 1,7 Millionen Tippreihen (=Elementarereignisse) zerlegen.

[2] Ok, für die Profis: Bei überabzählbar vielen Elementarereignissen geht das in die Hose. Dann braucht man die sogenannte Maß- und Integrationstheorie, die hier aber deutlich zu weit führen würde.

[3] Dieses Phänomen ist auch als "Geburtstagsparadoxon" bekannt. Ab 23 Personen ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei am selben Tag Geburtstag haben, bereits über 50 %.

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